Le lièvre et la tortue

Un lièvre et une tortue   font la course, quelle est la règle du jeu ?   Sur qui va-t-on parier pour remporter la victoire  ?

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Seconde-Première
Thèmes  Algorithmique et probabilité
Objectifs
  • Simuler à l’aide d’un algorithme une successions de tirages avec une ou plusieurs  conditions d’arrêt.
  • Déterminer une valeur approchée de la probabilité d’un évènement à l’aide d’un grand nombre de répétitions d’expériences.
  • Logique : pour deux propositions p1 et p2, on utilise la négation de p1 ET p2, ou bien de p1 OU p2
  • Comparer les performances de différents algorithmes.
Utilisation On pourra organiser l’activité soit en groupe, en laissant le soin aux élèves d’écrire l’algorithme, soit seul devant un PC avec (éventuellement) des algorithmes écrits en partie ou bien comportant des erreurs à corriger.
Durée  1h ou 2h selon les options choisies
Logiciels  Un logiciel d’algorithmique ou bien la calculatrice . Geogebra pour visionner la course.
Apport des TICE  Les TICE permettent de simuler un grand nombre de tirages, nécessaire pour donner une valeur approchée de la probabilité p recherchée qui permet de départager les deux protagonistes sur leur chance de remporter la course.
Téléchargements    pdf Enoncé  fichier open office

geogebraCourse

 Algorithmes   Fichiers AlgoBox

Description de l’activité

  1. Découverte de la course
    L’élève peut deviner les règles du jeu, l’intérêt de cette présentation est multiple :
  • Le nom du curseur i n’est pas choisi au hasard, c’est celui que l’on trouve dans les boucles « POUR », dirigeant à dessein l’élève sur ce type de boucle.
  • Le défaut de la course présentée ainsi complique l’élaboration de la règle et va permettre (éventuellement selon les groupes)  une discussion sur la nécessité d’affiner la condition d’arrêt, une boucle « POUR » n’est peut être pas suffisante.
  • On peut établir différentes règles qui vont répondre chacune à la complexité de la boucle utilisée  en remarquant que lorsque le numéro affiché est 6 alors le lièvre gagne sinon la tortue avance d’un rang :
    • On joue n fois (n correspond à la longueur de la course) et on regarde qui a gagné en premier (ce que propose la figure)
    • On joue autant de fois que nécessaire jusqu’à ce que le premier des deux gagne (version affinée)
  • Il semble que plus la longueur de la course est importante, plus le lièvre a une chance de l’emporter.
  • On fixe la longueur de la course à 4 étapes.
    La probabilité de remporter la course est alors proche de 0.5, ce qui empêche de répondre tout de suite à la question posée : « Sur qui va-t-on parier ? »
  • Différenciation des compétences
    • Soit on propose d’écrire un algorithme directement à partir des règles élaborées.
    • Soit on propose deux algorithmes (partie III) dont l’un est à compléter et le second à corriger.
      Remarque : libre à l’enseignant de fournir par exemple les deux algorithmes en travail à la maison.

      • Il manque dans le premier algorithme l’affichage des résultats.
        Algorithme de Marc

      • Dans le deuxième la condition d’affichage du vainqueur est mauvaise, car la boucle s’arrête lorsque le DE vaut 6, donc l’algorithme affichera toujours que le lièvre gagne !
        Algorithme de Julie

         

        On remarquera que certains pourront modifier la condition du TANT QUE avec TANT QUE E<4, cela reviendra alors à fabriquer  une boucle POUR à partir d’une boucle TANT QUE

  • Répétition de boucles
    On imbrique deux boucles pour recommencer les expériences et ainsi approcher la valeur de p, la probabilité que la tortue gagne. (On propose ici de l’encadrer par un intervalle de confiance au seuil de 0.95)
  • Approfondissement : performance d’algorithmes et logique
    Les deux algorithmes suggérés dans la partie II de l’activité présentent chacun un défaut de performance :
    Le premier avec la boucle FOR exécute exactement 4 étapes, même si le lièvre gagne entre temps, alors que le deuxième avec la boucle TANT QUE attend que le lièvre gagne, même si la tortue a déjà atteint la ligne d’arrivée.

    • Logique: Deux étapes de réflexion
      Étape 1 : Pour améliorer l’algorithme, Il faut  utiliser la condition D≠6 ET E<4, cela peut donner lieu à des erreurs car on est tenté de dire  » pour rester dans la boucle le Dé doit être différent de 6 OU BIEN le nombre d’étapes doit être inférieur à 4″ , ainsi écrire D≠6 OU E<4 ce qui fait tourner la boucle indéfiniment !
      On doit ainsi raisonner sur la condition d’arrêt qui est la négation de la condition écrite dans la boucle TANT QUE.Pour sortir de la boucle on doit avoir comme condition D=6 OU E≥4 on doit donc écrire dans le TANT QUE : D≠6 ET E<4
      Étape 2  : la condition qui permet ensuite de tester le vainqueur doit bien prendre en compte des opération de départ avant d’entrer dans la boucle, si on modifie l’algorithme de Julie de la partie II avec la condition ET dans le TANT QUE, tout en laissant « SI D=6 » pour tester le vainqueur, alors la tortue peut avoir gagné la course et pourtant le lièvre sera considéré comme vainqueur ! (le nombre d’étape est arrivé à 4 mais le dé qui  est lancé à nouveau dans la boucle donne 6)
    • Performance
      Ce troisième algorithme s’arrête donc « plus vite », on peut le mesurer lorsque l’on répète un grand nombre de fois la course, ceci finit par donner quelques secondes de différences entre le troisième et l’un des deux premiers.
Crédits Photos : CC BY-SA 3.0
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Publié dans Activités, Activités pour le lycée, Algorithmique

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