Pylône brisé


Un pylône de 50 m de hauteur s’est brisé et la pointe retombe sur le sol à 15 m de la base du pylône.Pour sécuriser le pylône, un soudeur doit découper au chalumeau le pylône au niveau de la cassure, à l’aide d’un camion nacelle.Pour éviter qu’il ne tombe sur le camion nacelle, le morceau découpé sera maintenu en place à l’aide d’une grue.

On dispose sur place d’un camion nacelle permettant d’atteindre une hauteur de 20 m et d’une grue pouvant atteindre une hauteur de 30 m.

  • Le camion nacelle et la grue sont-ils suffisamment hauts pour que le soudeur puisse effectuer la découpe ?
  • Quelle doit-être la hauteur minimale des engins ?
Niveau Quatrième
Modalités Durée : 1 heure. Travail en classe individuel ou en groupes.
Travail attendu Les entrées sont multiples, ce qui favorise l’expérimentation et la confrontation des méthodes.Les élèves peuvent, par exemple :

  • Faire une recherche par tâtonnement avec l’égalité du théorème de Pythagore. Les dimensions choisies dans l’énoncé font que cette recherche est possible mais longue.
    [spoiler show= »Voir le travail de Jordan »]
    Jordan n’avait pris aucune note de ses recherches et avait présenté au professeur l’affichage de sa calculatrice en guise de réponse. L’écrit ci-dessus a été obtenu à la demande du professeur.
    [/spoiler]
    [spoiler show= »Voir le travail de Malik »]
    Malik a passé 15 minutes à faire des essais avec sa calculatrice. On voit ici les notes qu’il a prises, dont la forme — brouillonne — reflète la rapidité d’exécution motivée par la volonté d’obtenir le résultat.
    [/spoiler]
  • Une construction de la situation en papier avec une mise à l’échelle : l’élève construit un pylône de 50 cm et le plie pour que la pointe retombe à 15 cm de la base.
    [spoiler show= »Voir le travail de Camélia »]
    Camélia a rassemblé deux feuilles de papier pour construire une maquette de la situation. Elle a ensuite plié sa maquette. La précision obtenue est remarquable (22,7 m).
    [/spoiler]
    [spoiler show= »Voir le travail de Gresa »]
    Gresa a construit une barre de 5 cm de long. Elle a ensuite vérifié (ce qu’elle appelle «prouver») la validité de ses résultats avec l’égalité de Pythagore.
    [/spoiler]
  • Une recherche géométrique par construction (utilisation des propriétés de la médiatrice d’un segment) ou par tâtonnement (recherche de longueurs égales, par ajustement) : l’élève essaye de faire se correspondre la longueur de la partie oblique du pylône avec celle de la même partie dans sa position initiale.
    [spoiler show= »Voir le travail de Jalil »]
    Jallil s’y est repris à 8 fois avant de trouver un point convenable. Les mesures 27,2 et 22,7 sont issues des recherches de sa camarade Camélia, ce qui a permis une discussion sur la validité des résultats.
    [/spoiler]
  • La mise en équation du problème : l’élève choisit de représenter une longueur (longueur à atteindre ou longueur de l’hypoténuse) par une variable qui devient l’inconnue d’une équation par l’égalité du théorème de Pythagore.
    [spoiler show= »Voir le travail de Chakib »]
    Chakib est parvenu à modéliser la situation, à écrire une équation et s’est trouvé bloqué devant l’apparente complexité.
    [/spoiler]
Scénario possible La solution du problème (hauteur minimale de 22,75 m) fait que la recherche par tâtonnement est longue.Après la mise en équation du problème, la résolution de l’équation peut sembler difficile (en particulier l’écriture du carré de (50-x), le passage de (50-x)² à (50-x)×(50-x) ne sont pas des évidences et le développement de (50-x)×(50-x) peut ne pas avoir été abordé).

Le tableur peut être un recours pour faire de nombreux essais.

L’utilisation peut être minimale :

[js]
function cp_t(to,id) {
document.getElementById(to).innerHTML=document.getElementById(id).value;
}
function set_t(txt) {
document.getElementById(‘texte’).innerHTML=txt;
}
function set__t(txt) {
document.getElementById(‘_texte’).innerHTML=txt;
}
function set_b(c) {
if (c==1) document.getElementById(‘tA1′).style.background=’#b8dcff’;
else document.getElementById(‘tA1′).style.background=’#f0f0f0’;
if (c==2) document.getElementById(‘tB1′).style.background=’#b8dcff’;
else document.getElementById(‘tB1′).style.background=’#f0f0f0’;
if (c==3) document.getElementById(‘tC1′).style.background=’#b8dcff’;
else document.getElementById(‘tC1′).style.background=’#f0f0f0’;
}
function set__b(c) {
if (c==1) document.getElementById(‘_tA1′).style.background=’#b8dcff’;
else document.getElementById(‘_tA1′).style.background=’#f0f0f0’;
if (c==2) document.getElementById(‘_tB1′).style.background=’#b8dcff’;
else document.getElementById(‘_tB1′).style.background=’#f0f0f0’;
if (c==3) document.getElementById(‘_tC1′).style.background=’#b8dcff’;
else document.getElementById(‘_tC1′).style.background=’#f0f0f0’;
if (c==4) document.getElementById(‘_tD1′).style.background=’#b8dcff’;
else document.getElementById(‘_tD1′).style.background=’#f0f0f0’;
}
function process_table() {
document.getElementById(‘B1’).value=Math.pow(50-parseFloat(document.getElementById(‘A1’).value),2);
document.getElementById(‘C1’).value=Math.pow(document.getElementById(‘A1’).value,2)+225;
document.getElementById(‘texte’).innerHTML=document.getElementById(‘A1’).value;
}
function process__table() {
document.getElementById(‘_B1’).value=Math.pow(50-parseFloat(document.getElementById(‘_A1’).value),2);
document.getElementById(‘_C1’).value=Math.pow(document.getElementById(‘_A1’).value,2)+225;
document.getElementById(‘_D1’).value=2275-100*parseFloat(document.getElementById(‘_A1’).value);
document.getElementById(‘_texte’).innerHTML=document.getElementById(‘_A1’).value;
}
[/js]

A B C
1
  • une cellule pour la longueur recherchée
  • une cellule pour le carré de l’hypoténuse
  • une cellule pour la somme des deux autres carrés

L’expérience en classe montre que l’ajustement de la longueur variable selon la comparaison entre les aires de carrés nécessite de la concentration (lorsqu’on a des nombres non entiers) et on pourra tirer avantage — par étude du signe — de l’ajout a posteriori d’…

A B C D
1
  • une cellule pour la différence entre le carré de l’hypoténuse et la somme des deux autres carrés (étude du signe)

La mise en évidence du gain de temps entre l’utilisation du tableur et la recherche sur la calculatrice est flagrante.
[spoiler show= »Voir le travail de Susana »]

Susana est arrivée très rapidement à l’écriture 15²+(50-x)²=x² et s’est trouvée bloquée pour la résolution. Après qu’elle se soit engagée dans une recherche de solution par tâtonnement, le professeur l’a amenée à utiliser un tableur et à traduire les expressions des membres de l’équation par des formules dans les cellules. Une compétition s’en est suivie avec les élèves qui effectuaient leurs recherches avec une calculatrice.
[/spoiler]

Ce problème peut par la suite motiver la construction de connaissances algébriques :

  • Résolution d’une équation
  • Développer l’expression (50-x)² par le passage à l’écriture (50-x)×(50-x)
Compétence B2I C.3.4 : Je sais créer, modifier une feuille de calcul, insérer une formule
Socle commun Pilier 3 : Les principaux éléments de mathématiques et la culture
scientifique et technologique

  • Pratiquer une démarche scientifique, résoudre des problèmes.
    • Rechercher, extraire et organiser l’information utile
      • Observer, recenser des informations
      • Organiser les informations pour les utiliser
    • Réaliser, manipuler, mesurer, calculer, appliquer des consignes
      • Mesurer : lire et estimer la précision d’une mesure
      • Calculer, utiliser une formule
      • Utiliser un instrument de calcul
      • Construire un schéma
    • Raisonner, argumenter, pratiquer une démarche expérimentale
      ou technologique, démontrer

      • Proposer une démarche de résolution
      • Exploiter les résultats
    • Présenter la démarche suivie, les résultats obtenus, communiquer à l’aide d’un langage adapté
  • Savoir utiliser des connaissances et des compétences mathématiques.
    • Nombres et calculs
      • Mener à bien un calcul instrumenté (calculatrice, tableur)
      • Conduire un calcul littéral simple
    • Géométrie
      • Effectuer des constructions simples
      • Utiliser les propriétés d’une figure et les théorèmes de géométrie
      • Raisonner, démontrer
    • Grandeurs et mesures
      • Mesurer une distance
      • Calculer une longueur
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