Vers la forme canonique

Rappel

L’écran du Classpad300 reproduit ci- contre représente une parabole obtenue à partir de la parabole élémentaire par translation.

S( ; )

Quelles sont les coordonnées de
son sommet ?

y = Écrire l’équation de cette courbe telle que la donne la calculatrice

Tracer la courbe

Comme pour la fonction élémentaire, nous allons tracer la courbe représentant la fonction

Partagez l’écran et faites glisser l’expression vers la fenêtre de géométrie.

Que constatez-vous ?

Vérification

A l’aide de l’application « Graphes et Tables » nous allons vérifier que les valeurs prises par ces deux fonctions sont les mêmes – Ce travail peut également être fait sur votre calculatrice graphique. – On constate que les colonnes y1 et y2 sont identiques.

Remarque : Les valeurs extrêmes (xMin et xMax) de x sont obtenues par le bouton « x =…y = » de la seconde ligne d’outils quand la fenêtre des feuilles de fonctions est active..

Etude de l’expression

est une expression du second degré en x. Développer cette expression.

Retour à la calculatrice pour vérification : Le Classpad300 permet d’effectuer des calculs littéraux comme celui que vous venez de faire. Suivez les indications ci-dessous

Introduire l’expression au clavier. Puis validez-la.

Sélectionnez le résultat et faites-le glisser dans la ligne suivante.

Sélectionnez ce que vous venez de déplacer, et utilisez la commande
Interactif > Transformation > Expand > Expression.

Remarque : Une calculatrice qui effectue ce type de travail est une « calculatrice formelle »

Exercice

Compléter le tableau par les coordonnées du sommet de la parabole correspondante et par la forme développée de chacune des expressions suivantes :

	S( ; )	y =
	S( ; )	y =
	S( ; )	y =
	S( ; )	y =

Forme remarquable d’une expression.

On se propose dans la suite de trouver la forme à partir d’une expression développée du second degré en x. Cette forme sera désignée dans la suite par « forme remarquable »

Exemple

Considérons l’expression

A l’aide du tracé de la courbe, nous pouvons déterminer par lecture graphique, les coordonnées du sommet.

Ici : S( – 3 ; – 4 ) semble être le sommet de la parabole.

Il se peut donc que A(x) soit égal à

Vérifiez ce résultat à l’aide d’un développement ou de la commande « Expand »…

Ceci est acceptable quand les coordonnées du sommet sont des nombres faciles à déterminer par lecture graphique ; des entiers par exemple.

Coordonnées du sommet avec la calculatrice

L’abscisse du sommet de la parabole est la valeur pour laquelle la fonction admet son extremum ; ici son minimum. Les copies d’écran ci-dessus montrent comment obtenir le minimum de la fonction avec le Classpad300. On y lit que la valeur minimale de la fonction (MinValue) est bien – 4, et que ce minimum est atteint pour x = – 3. Ce qui confirme la lecture graphique, et le calcul précédent.

Exercice

Compléter le tableau en déterminant les coordonnées du sommet de la parabole dont l’équation est donnée et indiquer la forme remarquable de y. Vérifier en développant le résultat trouvé.

	S( ; )	y =
	S( ; )	y =
	S( ; )	y =
	S( ; )	y =

Pour aller plus loin

Rappel

-

On remarquera attentivement le coefficient de : c’est –1.

L’ordonnée du sommet est +7. Cette valeur n’est pas affectée par ce coefficient dans la forme remarquable de y.

Exercice

Trouver la forme remarquable de . Pour cela, le Classpad300 donne comme coordonnées du sommet

Forme remarquable ________________________

Vérifiez votre conjecture.

Autre exercice

Avec l’expression

La fonction définie par admet-elle un maximum ou un minimum ?

Déterminer les coordonnées du sommet de la parabole qui la représente. Donner la forme remarquable de l’expression.

La copie d’écran ci-contre donne la solution !

Même exercice

FormeCanonique.sxw

A. Muller	Lycée Georges Cuvier Montbéliard	Page 5 / 5

Vers la forme canonique

Muller

2005-03-18T14:47:00

Daniel Muller