Théorème des milieux et sa réciproque – Théorème de Thalès

Classe Quatrième
Objectif
  • Cette activité permet de conjecturer que dans un triangle, si on construit la droite qui passe par les milieux de 2 des côtés alors celle-ci est parallèle au troisième côté du triangle.
    On remarquera que la longueur du segment qui joint ces deux milieux est égale à la moitié de la longueur du troisième côté.
  • On démontrera ensuite ces deux propriétés à l’aide d’une figure animée.
  • On conjecture ensuite la propriété du théorème de Thalès, établissant la proportionnalité des longueurs des côtés des 2 triangles.
Pré-requis Pré-requis
Intérêt La figure animée permet de conjecturer dans toutes les formes de triangle. La démonstration est animée et permet un gain de temps appréciable.
Utilisation en classe Avec un vidéoprojecteur, ou en salle multimédia on utilise le fichier Geoplan-Geospace

  • depart.g2w pour la conjecture de la propriété.
  • demo.g2w pour la correction de la démonstration animée et demodeleve.g2w pour la version élève.
  • thales.g2w pour la conjecture du théorème de Thalès.
  • reciproque.g2w pour la propriété réciproque du théorème de la droite des milieux.

Feuille d’accompagnement :

Utilisation en ligne Grâce aux contrôles Active’X : Depart      demo      thales      Réciproque
demoversioneleve pour la démonstration version élève.
ATTENTION ! : Si les figures ne s’affichent pas, télécharger les contrôles Active’X sur le site du CREEM.
Durée Prévoir deux séances de 1 heure.

Description et commandes

La propriété :
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Cette première activité se déroule en 2 temps :

  • Premier temps:
    On ouvre le fichier depart.g2w, la figure est un triangle ABC, l’élève doit construire à l’aide de Geoplan les points I et J, les milieux de 2 des côtés du triangle ABC :

    Construction Manipulation
    Dans le triangle ABC, on construit I et J, les milieux respectifs des segments [AB] et [AC]. Menu Créer-Point-milieu
    On trace alors la droite (IJ) Menu Créer-Ligne-Droite
    (Donner un nom à la droite exemple: d )
  • Lorsque les points sont crées, la distance IJ et BC apparaît :
  • On construit alors la droite (IJ), et on peut déformer le triangle ABC pour conjecturer correctement.

Deuxième temps:
On démontre grâce à la figure animée.

  • On appuie successivement sur les touches 1,2,3… jusqu’à 7
    La démonstration est guidée et commentée. Il ne s’agit pas ici de faire faire la démonstration par les élèves.
    On peut cependant la corriger avec cette figure.
    Les codages (doubles flèches), montrent que I et J sont les milieux respectifs de [AB] et [AC].
  • On appuie sur la touche 1:
  • On appuie sur les touches 2,3 et 4.
  • On appuie sur la touche 5
  • On appuie sur la touche 6
  • Enfin sur la touche 7

    Cette démonstration existe en version élève où seul le texte sur l’animation du symétrique est présente.La question reste présente à l’affichage :
    Dans le triangle ABC, I et J sont les milieux respectifs de [AB] et [AC].
    Montrer que (IJ)//(BC) et IJ=1/2 BC

Sur la feuille d’accompagnement, le triangle ABC est construit, les questions intermédiaires qui permettent l’élaboration de la démonstration sont illustrées par des animations. L’élève appuie sur les touches correspondantes pour voir évoluer la figure et l’aider dans ses conjectures.
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La réciproque :
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On étudie le cas réciproque. L’activité se déroule en deux temps :

  • Conjecture du théorème de Thalès.
  • Cas particulier où D est le milieu de [AC]

Premier temps
On ouvre le fichier thales.g2w

On demande de déplacer les points D ou E pour s’apercevoir que les rapports affiché à l’écran ne sont pas égaux.


On demande alors de construire la parallèle à (CB) passant par D.
L’élève suit les les instructions grâce au tableau :

Construction Manipulation
Construire la droite (d1) parallèle à (CB) passant par D. Menu Créer-Ligne-Droite(s)-Parallèle
(penser au nom de la droite d1)
On redéfinit E, comme point d’intersection des droites (d1) et (AB) Menu Créer-Point-intersection de 2 droites.
(Répondre OUI )

La droite (DE) est alors parallèle à la droite (CB)

Les droites étant parallèles, les égalités de rapports suggèrent la proportionnalité des longueurs des côtés des triangles en remplissant le tableau.

On complète alors la propriété qu’on admet.

PROPRIETE : Dans un triangle ABC, D et E sont deux points respectivement de ………. et ………., avec ………………….., alors ……..= ……….= ………. .

Deuxième temps
On ouvre le fichier reciproque.g2w

  • La figure est le triangle ABC avec les points D et E où les longueurs AD et AC sont écrites ainsi que la valeur du rapport
    Celui-ci est à l’écran, ce qui oblige l’élève à l’utiliser pour obtenir la valeur 0,5 et placer correctement le point D.Déplacer D, de sorte que D soit le milieu de [AC]
  • La phrase : D n'est pas le milieu de [AC] !permet à l’élève de ne pas s’arrêter à ce qu’il voit mais de bien prendre en compte la valeur du rapport.
  • Lorsque la bonne position est atteinte le texte change
  • La phrase « Les droites (DE) et (CB) ne sont pas parallèles » oblige l’élève, en déplaçant E, à faire apparaitre cette figure :
    et le texte
    D étant le milieu de [AC] et (DE)//(CB)

    D'après la propriété précédente déduire les égalités de rapports

    Appuyez sur la barre ESPACE pour vérifier.

  • On appuie sur la barre ESPACE et le rapport apparaît.Également la question Que peut-on dire du point E?, (appuyer sur 0)

    Grâce au rapport égal à 0,5, l’élève peut conclure que E est le milieu de [AB].

  • En appuyant sur 0, l’égalité du troisième rapport apparaît, ainsi sue les longueurs DE et CB, on retrouve le résultat vu dans la première activité où CB est le double de DE.
  • On peut en déduire la propriété suivante



    PROPRIETE : Dans un triangle la parallèle à un côté passant par le milieu d’un deuxième côté, passe ………………………………………. du troisième côté.

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Publié dans Activités, Activités pour le lycée

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